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2013年7月18日木曜日

数学の博物館

・コーシー・シュワルツの不等式

・シュワルツの不等式

ロピタルの定
x=aを含む開区間で、微分可能な関数f(x),g(x)について
 のとき、

 が存在するならば


無名の公式(その1)

・ディリクレの定理
a,kを互いに素な自然数とすれば、数列   kn+a (n=1,2,・・・)の中に素数が無限に存在する。

 ・チェビシェフの定理
a>1とすれば、a<p<2aなる素数pが必ず存在する。

・フェルマの小定理
aを素数pで割り切れない整数とすれば
が成り立つ。

・シューアの不等式
a,b,cが正の実数でλが実数ならば
等号はa=b=cのときに限る

・ボーアの不等式
cは正の数でz1,z2が複素数ならば
が成り立つ。等号はz2=cz1の場合にかぎる

・無名の公式(その2)
a,b,α,β>0でα+β=1ならば

等号はa=bのときのみ成立

・レムスの不等式
a,b,cは三角形の辺の長さとする。このとき
が成り立つ。等号はa=b=cのときに限る

・ヘルダーの不等式

のとき以下が成り立つ

チェビシェフの不等式

または

ならば以下が成り立つ


・ミンコフスキーの不等式

ならば

が成り立つ。等号は

のときにのみ成立する。


・シャピロの不等式
に対して
なお、この不等式n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,17,19,21,23の時に成立し、それ以外のnでは成り立たない。

・ヤングの不等式
f(x)は[0,c]で連続な単調増加関数でf(0)=0とする。またg(x)はf(x)の逆関数とする。
に対して次の不等式が成り立つ

Lowner-Heinの定理
定義1:行列Aが正定値行列とは、エルミート行列で固有値がすべて正または0のときで記号でA≧0と書く。
定義2:二つの正定値行列A,BがA-B≧0のときABと書く。
以下の文章における記号はこれらの定義と同じ意味で使う。

AB≧0であれば1≧α≧0なるαに対して
が成り立つ

・吉田の不等式
以下の文章における記号はLowner-Heinの定理のときの定義と同じ意味で使う。
A≧B≧0であればr≧0に対して
が成り立つ。ここでp≧0,q≧1,(1+2r)q≧p+2r

・iのi乗
i^i =e^{-\frac{(4n+1)\pi}{2}}

・カッシーニの公式(フィボナッチ数列)





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